解：$(1)$充满电，电流所做的功$W=UIt=3.7\ \mathrm {V}× 1.13\ \mathrm {A}×3600\ \mathrm {s}=15051.6\ \mathrm {J}$，即大约储存了$15051.6\ \mathrm {J}$的电能
$(2)$手机工作时电压不变，即$U_{1}=U=3.7\ \mathrm {V}$，
电流$I_{1}=0.3\ \mathrm {A}$，则可以看视频的时间$t_{1}=\frac {W}{U_{1}I_{1}}=\frac {15051.6\ \mathrm {J}}{3.7\ \mathrm {V}×0.3\ \mathrm {A}}=13560\ \mathrm {s}$
