解:因为$|a|=10$,$|b|=6$,
所以$a=±10$,$b=±6.$
分四种情况讨论:$①$当$a=10$,$b=6$时,$a+b=10+6=16$;
$②$当$a=10$,$b=-6$时,$a+b=10+(-6)=4$;
$③$当$a=-10$,$b=6$时,$a+b=(-10)+6=-4$;
$④$当$a=-10$,$b=-6$时,$a+b=(-10)+(-6)=-16.$
综上所述,$a+b$的值为$±16$或$±4$