$解:(1)在△ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,∴AD=BD,AE=CE$ $又∵BC=10,∴△ADE的周长为AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10$ $(2)∵AD=BD,AE=CE,∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE\ $ $又∵∠BAC=128°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-128°=52°$ $∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=52°$ $∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=128°-52°=76°$
$证明:(1)∵DE⊥AC,BF⊥AC$ $∴∠DEC=∠CFB=90°,∠BFA=90°$ $∵∠A=45°，∴∠ABF=45°$ $∵BC=CD,∴∠DBC=∠BDC$ $∵∠DBC=∠ABF+∠FBC,∠BDC=∠A+∠DCE\ $ $∴∠FBC=∠DCE$ $在△DCE和△CBF中$ $\begin{cases}{ ∠DEC=∠CFB\ }\ \\ { ∠ECD=∠FBC } \\{CD=BC } \end{cases}$ $∴△DCE≌△CBF(AAS) $ $(2)过点C作CH⊥BD于点H$ $∵BC=CD,∴∠BCH=∠DCH,BH=DH\ $ $∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB\ $ $∵∠FBC=∠DCE,∴∠BCD=∠ABF=45°\ $ $∴∠DCH=22.5°,∠BDC=(180°-45°)÷2=67.5°\ $ $∴∠ACD=∠BDC-∠A=67.5°-45°=22.5°\ $ $∴∠ACD=∠DCH$ $∵DE⊥AC,CH⊥BD,∴DE=DH$ $∴DE=\frac{1}{2}DB $
$解:①∵AD=BD,∴∠EAB=∠HBA$ $在△ABH和△BAE中$ $\begin{cases}{ ∠BAH=∠ABE }\ \\ { AB=BA } \\{ ∠ABH=∠BAE} \end{cases}$ $∴△ABH≌△BAE(ASA), ∴BH=AE$ $∵AH是△ABC底边上的中线，AB=AC\ $ $∴BH=CH,∴BC=2BH=2AE$
$②根据题意可知:$ $当BF=BC时，△BCF为等腰三角形\ $ $∴∠BFC=∠BCF,∴∠ABC=∠BFC=∠BCF$ $∵AH是△ABC底边上的中线，AB=AC\ $ $∴∠BAH=∠CAH,∴∠BAH=∠ABE=∠CAH\ $ $∴∠BFC=∠BAH+∠ABE+∠CAH=3∠BAH\ $ $∵∠BCF=90°-∠CAH=90°-∠BAH$ $∴3∠BAH=90°-∠BAH,∴2∠BAH=45°\ $ $∴∠BAC=45°$ $当BC=CF时，△BCF为等腰三角形\ $ $∴∠BFC=∠CBF=3∠BAH\ $ $∴∠ABC=∠ACB=4∠BAH\ $ $∴5∠BAH=90°,∴∠BAH=18°$ $∴∠BAC=2×18°=36°\ $ $易知BF≠FC$ $综上所述:∠BAC的度数为45°或36° $
$证明:作△ABC底边上的中线AH\ $ $∵AB=AC,∴AH⊥BD$ $∵CE⊥BD,∴AH//CE\ $ $∵BH=CH，∴AB=AG,∴AC=AG$ $∵∠GAE=180°-∠DAB=180°-∠ABD$ $=180°-(90°-∠BAH)=90°+∠BAH=90°+∠CAH\ $ $∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠CAH+90°\ $ $∴∠GAE=∠ACD$ $在△GAE和△ACD中$ $\begin{cases}{ AG=CA }\ \\ { ∠GAE=∠ACD } \\{ AE=CD} \end{cases}$ $∴△GAE≌△ACD(SAS),∴EG=AD $
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