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50°

55°

$解:(1)∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∠B=30°, ∠ACB=80°$

$∴∠BAC=180°-30°-80°=70°$

$∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2=35°$

$∴∠3=∠1+∠B=35°+30°=65°$

$∵PE⊥AD,∴∠3+∠E=90°，∴∠E=90°-65°=25°$

$(2)∠ACB-∠B=2∠E,证明:$

$∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB$

$∵AD平分∠BAC, ∴∠1=∠2=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}(180°-∠B-∠ACB)$

$∴∠3=∠1+∠B=∠2+∠B=\frac{1}{2}(180°-∠B-∠ACB)+∠B=90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠ACB$

$∵PE⊥AD,∴∠3+∠E=90°,∴90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠ACB+∠E=90°,即∠ACB-∠B=2∠E$

$解:(1)③∵∠ABC+∠C=180°-∠A,EF//BC$

$∴∠C=∠DEF,∴∠ABC+∠DEF=180°-∠A$

$∵BD平分∠ABC,EG平分∠CEF$

$∴∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC,∠FEG=\frac{1}{2}∠DEF$

$∴∠CBD+∠FEG=\frac{1}{2}∠ABC+\frac{1}{2}∠DEF$

$=\frac{1}{2}×(180°-∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$

$∵EF//BC,∴∠EFG=∠CBD, ∴∠EFG+∠FEG=90°-\frac{1}{2}∠A$

$∴∠BGE=∠EFG+∠FEG=90°-\frac{1}{2}∠A$

$(2)∠BGE=\frac {1}{2}∠A$