解：$(2)①$∵$∠COD=60°$
∴$∠EOD=180°-∠COD= 180°-60°=120°$
∵$OB$平分$∠EOD$
∴$∠EOB=\frac {1}{2}∠EOD=\frac {1}{2}×120°=60°$
∵$∠AOB=45°$
∴$α=∠EOB-∠AOB=60°-45°=15°$
②存在，$α=105°$或$125°$，理由如下：
当$OA$在$OD$左侧时，则$∠AOD=120°-α$，$∠BOC=135°-α$
∵$∠BOC=2∠AOD$
∴$135°-α=2(120°-α)$
解得$α=105°$
$ $当$OA$在$OD$右侧时，则$∠AOD=α-120°$，$∠BOC=135°-α$
∵$∠BOC=2∠AOD$
∴$135°-α=2(α-120°)$
解得$α=125°$
综上所述，当$α=105°$或$125°$时，存在$∠BOC=2∠AOD$
