$解：(1)因为OC⊥OA，所以∠AOC= 90°.$
$因为∠AOC与∠BOC的度数比为3 ： 2，$
$所以∠BOC=\frac{2}{3}∠AOC=60°.当t=1时，∠AOM=10°，∠CON=20°，$
$所以∠MON=∠AOC+∠CON-∠AOM=100°$
$(2)当OM与OC重合时，1=90÷10=9，所以0≤t≤9.$
$当射线ON与射线OB第一次重合时，t=60÷20=3；$
$当射线ON回到射线OC位置时，t=3×2=6；$
$当射线ON与射线OB第二次重合时，t=3×3= 9.$
$因为∠AOC= 90°，∠AOM =10t°，$
$所以∠COM=∠AOC-∠ AOM = (90 -10t)°$
$因为OC恰好是∠MON的平分线，所以∠CON=∠COM=(90-10t)°.$
$分类讨论如下：$
$①当0≤t≤3时，∠CON=20t°，则90-10t =20t，解得t = 3；$
$②当3\lt t\lt 6时，∠CON =(120-20t)° ，$
$则90-10t= 120-20t，解得t=3，不合题意，舍去；$
$③当6≤t≤9时，∠CON =(20t- 120)° ，则90-10t=20t- 120，解得t=7.$
$综上所述，当t的值为3或7时，OC恰好是∠MON的平分线.$
$(3)因为OP平分∠CON，所以∠COP=\frac{1}{2}∠CON.$
$因为∠COM=(90-10t)°，所以分类讨论如下：$
$①当0≤t≤3时，∠CON=20t°，则∠COP=10t°，所以∠MOP=∠COM+∠COP=90°；$
$②当3\lt t\lt 6时，∠CON = (120-20t)°，则∠COP=(60-10t)°，$
$所以∠MOP=∠COM+∠COP=(150-20t)°；$
$③当6≤t≤9时，∠CON=(20t-120)°，则∠COP=(10t-60)°，$
$所以∠_MOP=∠COM+∠COP=30°$
$综上所述，存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变，$
$且当0≤t≤3时，∠MOP = 90°；当6≤t≤9时，∠MOP=30°。$
