$证明:(1)∵BC⊥AE,∠BAE=45°,\ $ $∴∠CBA=∠CAB,$ $∴BC=AC.\ $ $在△BCE和△ACD中，\ $ $\begin{cases}{BC=AC，\ }\\{∠BCE=∠ACD=90°,}\\{CE=CD,\ }\end{cases}$ $∴△BCE≌△ACD(\mathrm {SAS}),\ $ $∴AD=BE.$ $(2)∵△BCE≌△ACD,$ $∴∠EBC=∠DAC.$ $∵∠BDP=∠ADC,$ $∴∠BPD=∠DCA=90°.$ $∵AB=AE,$ $∴AD平分∠BAE.$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$解:(1)BE=CF.理由如下:$ $∵△ABC和△ACD都是等边三角形，$ $∴∠BAC=∠B=∠ACD=60°,AB=AC.$ $∵∠EAF=∠BAC=60°,$ $∴∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠BAE.$ $∴∠CAF=∠BAE.$ $在△ABE和△ACF中，\ $ $\begin{cases}{∠B=∠ACF,}\\{AB=AC，}\\{∠BAE=∠CAF,}\end{cases}$ $∴△ABE≌△ACF(\mathrm {ASA}),$ $∴BE=CF. $ $(2)成立.理由如下:$ $∵△ABC和△ACD都是等边三角形，$ $∴∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°,$ $AC=AD=BC=CD,$ $∴∠ACE=∠ADF=120°.$ $∵∠EAF=∠CAD=60°,$ $∴∠EAF-∠EAD=∠CAD-∠EAD,$ $∴∠CAE=∠DAF.$ $在△ACE和△ADF中，\ $ $\begin{cases}{∠CAE=∠DAF,}\\{AC=AD,}\\{∠ACE=∠ADF,}\end{cases}$ $∴△ACE≌△ADF(\mathrm {ASA}),$ $∴CE=DF，$ $∴CE+BC=DF+CD，即BE=CF.$
$解;(3)AD与BE的位置关系不发生变化.理由如下:\ $ $如图，设AD、BC交于点F.\ \ $ $∵由(1)得BC=AC，∠BCA=∠ECD=90°，\ $ $∴∠BCA+∠BCD=∠ECD+∠BCD,\ $ $即∠ACD=∠BCE.\ $ $又CD=CE,$ $∴△BCE≌△ACD(\mathrm {SAS}),\ $ $∴∠EBC=∠DAC.\ $ $∵∠BFP=∠AFC,$ $∴∠BPF=∠ACF=90°,\ $ $∴AD⊥BE.$
$解:(2)成立.理由如下: $ $∵△ABC和△ACD都是等边三角形，$ $∴∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°,$ $AC=AD=BC=CD,$ $∴∠ACE=∠ADF=120°.$ $∵∠EAF=∠CAD=60°,$ $∴∠EAF-∠EAD=∠CAD-∠EAD,$ $∴∠CAE=∠DAF.$ $在△ACE和△ADF中，\ $ $\begin{cases}{∠CAE=∠DAF,}\\{AC=AD,}\\{∠ACE=∠ADF,}\end{cases}$ $∴△ACE≌△ADF(\mathrm {ASA}),$ $∴CE=DF，$ $∴CE+BC=DF+CD，即BE=CF.$
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