解：$(1)$列车速度$v=252\ \mathrm {km/h}=70\ \mathrm {m/s}$，小明通过该隧道的时间$t=40\ \mathrm {s}$，根据速度公式可得，隧道长：
$s_{隧道}=vt=70\ \mathrm {m/s}×40\ \mathrm {s}=2800\ \mathrm {m}$；
$(2)$列车完全通过隧道通过路程：$s'=2800\ \mathrm {m}+400\ \mathrm {m}=3200\ \mathrm {m}$，
列车完全通过隧道时间：$t'=\frac {s'}{v}=\frac {3200\ \mathrm {m}}{70\ \mathrm {m/s}}≈45.7\ \mathrm {s}$；
$(3)$大桥长$2.4\ \mathrm {km}=2400\ \mathrm {m}$，
根据题意知，列车完全在桥上的路程为：$s″=2400\ \mathrm {m}-400\ \mathrm {m}=2000\ \mathrm {m}$，
所用的时间：$t″=25\ \mathrm {s}$，列车过桥时的速度：$v″=\frac {s″}{t″}=\frac {2000\ \mathrm {m}}{25\ \mathrm {s}}=80\ \mathrm {m/s}.$
