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解:设这个多边形的边数为$n.$

∵多边形的外角和为$360°，$

∴这个多边形的内角和为$1620°-360°=1260°.$

$∴ 180°▪(n-2)=1260°，$

解得$n=9.$

∴这个多边形的边数为$9$

解：$(1)∵∠AEB=∠C+∠CAE，$$∠C=42°，$$∠CAE=18°，$

$∴∠AEB=60°，$

$∵∠CBD=27°，$

$∴∠BFE=180°-27°-60°=93°，$

$∴∠AFB=180°-∠BFE=87°.$

$(2)∵∠BAF=2∠ABF，$$∠BFE=93°，$

$∴3∠ABF=93°，$

$∴∠ABF=31°，$

$∴∠BAF=62°.$

解：$(1)∵BE$平分$∠ABC，$$∠ABC=64°，$

$∴∠EBC=\frac {1}{2}∠ABC=\frac {1}{2}×64°=32°.$

$∵AD⊥BC，$

$∴∠ADB=∠ADC=90°.$

$∵∠AEB=70°，$

$∴∠C=∠AEB-∠EBC=70°-32°=38°，$

$∴∠CAD=180°-90°-∠C=90°-38°=52°.$

$(2)①$当$∠EFC=90°$时，$∠BEF=90°-∠EBC=90°-32°=58°.$

②当$∠FEC=90°$时$，∠EFC=90°-∠C=90°-38°=52°，$

$∴∠BEF=∠EFC-∠EBC=52°-32°=20°.$

综上所述，$∠BEF$的度数为$58°$或$20°$

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