解：$(1)$设这个多边形的边数是$n(n≥3$且$n$为整数)
根据题意得$\frac 12n(n-3)=14$
整理，得$n^2-3n-28=0$
解得$n_1=7，$$n_2=-4$
∵$n≥3$且$n$为整数
∴$n=7，$即这个多边形的边数是$7$
$(2)A$同学的说法不正确
设这个多边形的边数为$m(m≥3$且$m$为整数)
则$\frac 12m(m-3)=10$
整理，得$\mathrm {m^2}-3m-20=0$
得$m=\frac {3±\sqrt {89}}2$
∴方程$\mathrm {m^2}-3m-20=0$不存在正整数解
∴多边形的对角线不可能有$10$条，即$A$同学的说法不正确
