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证明：$(1)∵C$是$\widehat{BD}$的中点，

$∴\widehat{CD}=\widehat{BC}.$

$∵AB$是$⊙O$的直径，且$CF⊥AB，$

$∴\widehat{BC}=\widehat{BF}，$

$∴\widehat{CD}=\widehat{BF}，$

$∴CD=BF.$

∵在$△BFG $和$△CDG $中，$∠F=∠CDG，$$∠FGB=∠DGC，$$BF=CD，$

$∴△BFG≌△CDG.$

$(2)$如图，过$C$作$CH⊥AD$于$H，$连接$AC、$$BC，$

$∵\widehat{CD}=\widehat{BC}，$

$∴∠HAC=∠BAC.$

$∵CE⊥AB，$

$∴CH=CE.$

$∵AC=AC，$

$∴Rt△AHC≌Rt△AEC，$

$∴AE=AH.$

$∵CH=CE，$$CD=CB，$

$∴Rt△CDH≌Rt△CBE，$

$∴DH=BE=2，$

$∴AE=AH=2+2=4，$

$∴AB=4+2=6.$

$∵AB$是$⊙O$的直径，

$∴∠ACB=90°，$

$∴∠ACB=∠BEC=90°.$

$∵∠EBC=∠ABC，$

$∴△BEC∽△BCA，$

$∴\frac {BC}{AB}=\frac {BE}{BC}，$

$∴BC^2=AB·BE=6×2=12，$

$∴BF=BC=2\sqrt{3}.$

B

C

135°

证明$：(1)$连接$OD. $

$∵ AB$是$⊙O$的直径，

$∴ ∠ADB=90°，$

∴ 在$Rt△ADB$中$，∠ABD+∠OAD=90° $

$∵ OA=OD，$

$∴ ∠OAD=∠ODA. $

$∵ ∠CDF=∠ABD， $

$∴ ∠ODA+∠CDF=90°， $

$∴ ∠ODF=90°，$

$∴ DF⊥OD.$

$∵ OD$是$⊙O$的半径，

$∴ DF $是$⊙O$的切线

$(2)$连接$AE. $

$∵ BE=DE，$

$∴ ∠BAE=∠CAE. $

$∵ AB$是$⊙O$的直径，

$∴ ∠AEB=90°=∠AEC， $

$∴ ∠ABE+∠BAE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，$

$∴ ∠ABE=∠ACE， $

$∴ AB=AC.$

根据$ \frac {AD}{BD} = \frac {4}{3} ，$

设$AD=4x，$

则$BD=3x，$

∴ 在$Rt△ABD$中，由勾股定理，得$AB=\sqrt{(4x)²+(3x)²} =5x，$

$∴ AC=5x，$

$∴ CD=x. $

∵ 在$Rt△BDC$中$，BD²+CD²=BC²， $

$∴ (3x)²+x²=( \sqrt{10} )²，$

解得$x=1($负值舍去)，

$ ∴ AB=5x=5，$

$∴ ⊙O$的半径为$ \frac {1}{2}AB= \frac {5}{2}$

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