证明：$(1)$连接$OC，$
$∵C$是$\widehat{ACB}$的中点，
$∴\widehat{AC}=\widehat{BC}，$
$∴∠COD=∠COE.$
$∵OA=OB，$$AD=BE，$
$∴OD=OE.$
在$△COD$和$△COE$中，
$\begin{cases}{CO=CO，}\\{∠COD=∠COE，}\\{OD=OE，}\end{cases}$
$∴△COD≌△COE(\mathrm {SAS})，$
$∴CD=CE.$
$(2)$如图，连接$OM、$$ON.$
$∵△COD≌△COE，$
$∴∠CDO=∠CEO，$$∠OCD=∠OCE.$
$∵OC=OM=ON，$
$∴∠OCM=∠OMC，$$∠OCN=∠ONC，$
$∴∠OMD=∠ONE.$
$∵∠ODC=∠DMO+∠MOD，$$∠CEO=∠CNO+∠NOE，$
$∴∠MOD=∠NOE，$
$∴\widehat{AM}=\widehat{BN}.$
