$解:(1)将点A(3,1)，B(-1,n )代入y=\frac{m}{x}，$
$得\begin{cases}{ 1=\frac {m}{3}, }\ \\ {n=\frac {m}{-1},\ } \end{cases} 解得\begin{cases}{ m=3, }\ \\ {n=-3,\ } \end{cases}\ $
$∴点B(-1,-3)，反比例函数的表达式为y=\frac{3}{x}.$
$将点A(3,1)，B(-1,-3)代入y=kx+b.$
$得\begin{cases}{ 1=3k+b, }\ \\ { -3=-k+b, } \end{cases} 解得\begin{cases}{ k=1, }\ \\ { b=-2, } \end{cases}\ $
$∴一次函数的表达式为y=x-2.\ $
$(2)存在.将x=0代入y=x-2，得y=-2，$
$∴C(0,-2)，∴OC=2.$
$若四边形OCNM是平行四边形，则MN//OC，$
$且MN=OC=2，设M(t,\frac{3}{t})，N(t,t-2)，$
$则M=y_{m} -y_{n} =\frac{3}{t}-(t-2)=2，$
$解得t=±\sqrt {3} .\ $
$∴M(\sqrt {3} ,\sqrt {3} )或(-\sqrt {3} , -\sqrt{3}).$
