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$证明:由(1)知AE=BE,BM=GM,$
$AD=CD,CN= GN$
$∴EM=\frac{1}{2}AG,DN=\frac{1}{2}AG,$
$∴EM=DN.\ $
$∵EM//DN,$
$∴∠MEG=∠DNG,∠EMG=∠NDG,$
$∴△EMG≌△NDG(ASA),$
$∴EG=GN,∴CG=2EG.$
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10cm
10.5s
$解:(2)设∠ABE=x,则∠DBF=2x,$
$ 由(1),得四边形ABCD为平行四边形,∴OB=OD.$
$ ∵EF⊥BD,∴BE=DE,∴∠EBD=∠EDB.$
$ ∵AD//BC,∴∠EDB=∠DBF,$
$ ∴∠EBD=∠EDB=∠DBF=2x.$
$ ∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB=180°,$
$ ∴100°+x+2x+2x=180°.$
$ 解得x=16°,即∠ABE=16°.$
$解:(2)∵AD//BC,∠B=90°,$
$且四边形ABQP是矩形,\ $
$∴AP=BQ,即t=21-2t,解得t=7.$
$(3)由题意,得当t=5s时,\ $
$PD=15-5×1=10,CQ=2×5=10,$
$∴PD=CQ.\ $
$∵AD//BC,∴四边形PQCD是平行四边形.\ $
$∵CD=10,∴PD=CD,$
$∴四边形PQCD是菱形.$
$证明:(1)∵AD//BC,$
$∴∠OAD=∠OCB.\ $
$在△AOD和△COB中,$
$\begin{cases}{∠OAD=∠OCB,\ \ }\ \\ {\ AO=CO, }\\{∠AOD=∠COB,\ } \end{cases}\ $
$∴△AOD≌△COB(ASA),\ $
$∴AD=CB.\ $
$又AD//BC,∴四边形ABCD为平行四边形.$
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