解：$ (1)$∵$ EF$垂直平分$AD$
∴$AE= DE$
设$AE= DE= x$
∵$△ABC$是等腰直角三角形
∴$ AC= BC= 1$
∴$CE=AC-AE=1-x$
∵$AD$是边$BC$上的中线
∴$ CD=\frac 12BC=\frac 12$
在$Rt△CDE$中，$CE^2 + CD^2 = DE^2$
即$(1-x)^2+(\frac 12)^2=x^2$
解得$x=\frac 58$
即$AE=\frac 58$
$ (2)$∵$△ABC$是等腰直角三角形
∴$AC= BC= 1，$$∠B= 45°$
∵四边形$AEDF $是菱形
∴$DE// AB$
∴$∠CDE=∠B= 45°$
∴$△CDE$是等腰直角三角形
∴$CD= CE$
设$CD= x，$则$AE= 1- x$
∵四边形$AEDF $是菱形
∴$DE= AE= 1- x$
在$Rt△CDE$中，$CE^2 + CD^2= DE^2$
即$x^2 +x^2= (1- x)^2$
整理得，$x^2+2x-1=0$
解得$x_1 =\sqrt 2-1，$$ x_2=-\sqrt 2-1($舍去)
∴$CD$的值是$\sqrt 2- 1$
