第32页 - 补充习题江苏八年级数学人教版人民教育出版社

$3$

$10$

$22.5°$

$18$

解: ∵ 在$ \square A B C D $中$， A B / / C D ，$

∴$∠D E A=∠E A B， $

$\text { 又 } $∵$A E \text { 平分 } ∠B A D, $

∴$∠D A E=∠E A B， $

∴$∠D A E=∠D E A， $

∴$A D=D E=10， $

∵$E \text { 为 } C D \text { 的中点, } $

∴$C D=2\ \mathrm {D} E， $

∴$C_{\square A B C D}=2(A D+C D) =2(A D+2 D E)=60 \mathrm{cm}$

即平行四边形的周长为$ 60 \mathrm{cm} .$

解: ∵ 四边形$ A B C D $是菱形$， A C=16 ， $周长为$ 40 ，$

∴$A C \perp B D， A O=O C=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} C=8 ， A B=B C=C D=D A=10，$

在$ Rt \triangle A O B $中, 由勾股定理得$：O D=\sqrt {10^2-8^2}=6， $

∴$O B=O D=6， $

∵$S_{\text {菱形 } A B C D}=\frac{1}{2} ×A C ×B D=A B ×D H$

∴$\frac {1}{2} ×16 ×12=10\ \mathrm {D} H， $

∴$D H=9.6 .$

解$： D E=C F ， $证明如下:

∵ 四边形$ A B C D $是正方形,

∴$∠C=90°， B C=C D， $

∴$∠E D F=45°， $

∵$E F \perp B D， $

∴$∠B E F=∠D E F=90°， $

∴$∠D F E=180°-90°-45°=45°，$

$\text { 即 } ∠E D F=∠D F E, $

∴$D E=E F，$

在$Rt \triangle B E F $与$ R t \triangle B C F $中,

$\begin {cases}{B F=B F }\\{B E=B C}\end {cases}$

∴$R t \triangle B E F \cong R t \triangle B C F(H L)， $

∴$E F=C F， $

$\text { 又 } D E=E F, $

∴$D E=C F$

证明: ∵$A D \perp B D， E $是$ A B $的中点,

∴$B E=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B， D E=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B， $

∴$B E=D E， $

∴$∠E D B=∠E B D， $

∵$C B=C D， $

∴$∠C D B=∠C B D， $

∵$A B / / C D， $

∴$∠E B D=∠C D B， $

∴$∠E D B=∠E B D=∠C D B =∠C B D$

在$ \triangle E B D $和$ \triangle C B D $中,

$\begin {cases}{∠E B D=∠C D B }\\{B D=B D }\\{∠E D B=∠C B D}\end {cases}$

∴$\triangle E B D \cong \triangle C B D(A S A)， $

∴$B E=B C， $

∴$C B=C D=B E=D E，$

∴ 四边形$ B C D E $是菱形.