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证明：∵$AF= BE$

∴$AE=BF$

∵四边形$ABCD$是矩形

∴$∠A=∠B=90°$

∴$AD= BC$

∴$△DAE≌△CBF$

∴$DE=CF$

证明：∵四边形$ABCD$为矩形

∴$AB=CD，$$∠ABC=∠DCM$

∵$M$为$BC$的中点

∴$BM=CM$

∴$△ABM≌△DCM$

∴$AM=DM$

又∵$MA⊥MD$

∴$∠MAD=45°$

则有$∠BAM=45°$

∴$AB= BM，$即$AD=2AB$

解：$(1)△AEF $是等边三角形

根据折叠的性质可得出$∠BAE =∠B'AE，$$AB= AB'$

∵$MN // AD$

∴$EB' = B'F，$而$∠AB'E= 90°$

∴$AB'$垂直平分$EF$

∴$AE=AF$

∴$∠BAE =∠B'AE=∠B'AF$

∴这三个角都是$30°$

∴$∠EAF=60°$

∵$AF=AE$

∴$△AEF $是等边三角形

$(2) $不能，如正方形

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