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$证明:∵PM⊥EF(已知),$
$ ∴∠APQ+∠2=90°(垂直定义).$
$ ∵∠1+∠2=90°(已知),$
$ ∴∠APQ=∠1(同角的余角相等).$
$ ∴AB//CD(内错角相等,两直线平行).$
$证明:(1)∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD,$
$又∠COA=∠BOD,\ $
$∴∠C=∠D.∴AC//BD.$
$(2)如图,线段AE和线段BF即为所求.$
$ 由(1)可知AC//BD,$
$∴∠CAO=∠DBO.$
$ ∵AE⊥CO,BF⊥DO,$
$∴∠AEO=∠BFO=90°.$
$ ∴AE//BF.∴∠EAO=∠FBO.$
$ ∴∠CAO-∠EAO=∠DBO-∠FBO,$
$ 即∠CAE=∠DBF.$
三角形的内
角和是180°
等式变形
∠ACB=∠DFE
内错角相等,两直线平行
1
$解:(3)∵∠A=78°,\ $
$∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-78°$
$=102°.$
$∵BE、CD是△ABC的角平分线,\ $
$∴∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC,$
$∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB,\ $
$∴∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)$
$=\frac{1}{2}×102°=51°.\ $
$∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)$
$=180°-51°=129°.$
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