证明$： (1)$因为四边形$ABCD$是矩形
所以$AD//BC$
所以$∠DEC=∠ECB$
因为$△CDE$折叠得到$△CFE$
所以$∠FEC=∠DEC$
所以$∠FEC=∠ECB$
所以$△BEC$是等腰三角形
$(2)$因为$AB=2，$$∠ABE=45°$
所以$BE= 2\sqrt {2}$
所以$BC= BE= 2\sqrt {2}$
所以$S_{矩形}ABCD= AB×BC= 4\sqrt {2}$
