解:$∠BAC=2∠BEC$
证明:∵$BI $平分$∠ABC,$$CI $平分$∠ACB,$$CE$平分$∠ACG $
∴$∠IBC= \frac 12∠ABC,$$∠ACI = \frac 12∠ACB,$$∠ACE= \frac 12∠ACG$
$∠ACI+∠ACE= \frac 12∠ACB+ \frac 12∠ACG= \frac 12×180°=90°$
∴$∠BEC=90°-∠CIE=90°-(∠IBC+∠ICB)$
而$∠BAC= 180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2(∠IBC+∠ICB)$
∴$∠BAC=2∠BEC$