解:∵$11^{10}$的末尾数字为$1,$$22^{10}$的末尾数字为$4,$$33^{10}$的末尾数字为$9$
$ 44^{10}$的末尾数字为$6,$$55^{10}$的末尾数字为$5,$$66^{10}$的末尾数字为$6$
$ 77^{10}$的末尾数字为$9,$$88^{10}$的末尾数字为$4,$$99^{10}$的末尾数字为$1$
又∵$1+4+9+6+5+6+9+4+1=45$
∴所求式子的末位数字为$5$