解:$(1)$由$P=UI$可知,电热水壶正常工作时,通过电热丝的电流:
$I=\frac {P}{U}=\frac {1280\ \mathrm {W}}{220\ \mathrm {V}}≈5.8\ \mathrm {A};$
$(2)$由$P=\frac {U^2}{R}$可知,电热水壶电热丝的电阻:
$R=\frac {U^2}{P}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{1280\ \mathrm {W}}=37.8125\ \mathrm {Ω};$
$(3)$电热水壶内水的体积$V=1\ \mathrm {L}=1\ \mathrm {dm}^3=1×10^{-3}\ \mathrm {m^3},$
由$ρ=\frac {m}{V}$可知,电热水壶内水的质量:$m=ρV=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×1×10^{-3}\ \mathrm {m^3}=1\ \mathrm {kg},$
一个标准大气压下,水的沸点是$100℃,$
水吸收的热量:
$Q_{吸}=cm(t-t_0)=4.2×10^3\ \mathrm {J/}(\mathrm {kg·℃})×1\ \mathrm {kg}×(100℃-25℃)=3.15×10^5\ \mathrm {J},$
电热水壶消耗的电能:$W=Pt'=1280\ \mathrm {W}×5×60\ \mathrm {s}=3.84×10^5\ \mathrm {J},$
电热水壶的工作效率:$η=\frac {Q_{吸}}{W}×100\%=\frac {3.15×10^5\ \mathrm {J}}{3.84×10^5\ \mathrm {J}}×100\%≈82\%.$