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解:设正方形​$A_nB_nC_nD_n$​的边长为​$a_n$​
则​$a_n^2=a^2_{n-1}+(2a_{n-1})^2=5a^2_{n-1}$​
∵​$a^2_1=1$​
∴​$a_{2}^2=5,$​​$a_{3}^2=5^2,$​​$a_{4}^2=5^3···$​
∴​$a^2_n=5^{n-1},$​即正方形​$A_nB_nC_nD_n$​的面积是​$5^{n-1}$​
解:​$(1)$​由题意得​$∠EMB=∠A=90°,$​​$EM=AE$​
∴​$△DME∽△CGM,$​​$DM+DE+EM=\frac 12+1=\frac 32$​
设​$DE=x,$​由​$DE^2+DM^2=EM^2$​
得​$x^2+(\frac 12)^2=(1-x)^2$​
解得​$x=\frac 38$​
∴​$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {\frac 12}{\frac 38}=\frac 43$​
∴​$CM+CG+MG=\frac 32×\frac 43=2$​
​$(2)DM+DE+EM=\frac 13+1=\frac 43$​
设​$DE=y,$​由​$DE^2+DM^2=EM^2$​
得​$y^2+(\frac 13)^2=(1-y)^2,$​解得​$y=\frac 49$​
∴​$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {\frac 23}{\frac 49}=\frac 32$​
∴​$CM+CG+MG=\frac 43×\frac 32=2$​
​$(3)$​猜想点​$M$​在​$CD$​边上,​$CM+CG+MG=2$​总成立
证明:设​$DM=a,$​​$DE=b,$​则​$DM+DE+EN=1+a$
由​$DE^2+DM^2=EM^2,$​得​$a^2+b^2=(1-b)^2,$​即​$1-a^2=2b$​
∴​$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {1-a}b$​
∴​$CM+CG+MG=(1+a) · \frac {1-a}b=\frac {1-a^2}b=\frac {2b}b=2,$​猜想得证