解:$(1)$以$AB$所在直线为$x$轴,$CD$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系
则$B$点坐标为$(10,$$0)$
设抛物线$y=ax^2+4$
将点$B$代入可得$a=-\frac {1}{25}$
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac {1}{25}x^2+4$
当$y=3$时,$x_1= -5 ,$$x_2=5$
∴$EF=10m$
$(2)$设圆的半径为$rm,$圆心为$O$
在$Rt△OCB$中
$r^2=(r-4)^2+10^2,$$r=14.5$
当水面上升$3m$至$EF$时,设$EF$与$CD$的交点为$G$
在$Rt△OGF$中,可求得$GF=2\sqrt 7$
即水面宽度$EF=4\sqrt 7(\mathrm {m})$
$(3)|10-4\sqrt 7|≈0.6$
即两种算法求出$EF$的长的差约为$0.6m$