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解：(1)作EH∥AB，如图，

$∵AB∥CD，$

$∴EH∥CD，$

$∴∠1=∠AME，$$∠2=∠CNE，$

$∴∠E=∠AME+∠CNE，$

$∵EM$是$∠AMF$的平分线，

$∴∠AME=\frac {1}{2}∠AMF，$

$∴∠E=\frac {1}{2}∠AMF+∠CNE=\frac {1}{2}×50°+40°=65°.$

同理可得$∠F=∠AMF+\frac {1}{2}∠CNE=50°+\frac {1}{2}×40°=70°.$

$(2)∵∠E=\frac {1}{2}∠AMF+∠CNE，$$∠F=∠AMF+\frac {1}{2}∠CNE，$

$∴2∠F=2∠AMF+∠CNE，$

$∴2∠F-∠E=\frac {3}{2}∠AMF，$

$∵∠E+60°=2∠F，$即$2∠F-∠E=60°，$

$∴\frac {3}{2}∠AMF=60°，$

$∴∠AMF=40°.$

$(3)$与$(1)$的证明方法一样可得$∠MON=∠AMF+∠CNE，$

而$∠E=\frac {1}{2}∠AMF+∠CNE，$$∠F=∠AMF+\frac {1}{2}∠CNE，$

$∴2∠E=∠AMF+2∠CNE，$$2∠F=2∠AMF+∠CNE，$

$∴2∠E+2∠F=3(∠AMF+∠CNE)，$

$∴∠AMF+∠CNE=\frac {2}{3}(∠E+∠F)，$

$∴∠MON=\frac {2}{3}(∠E+∠F).$

解：$(1)∵BE$平分$∠ABO，$$AE$平分$∠BAO，$

$∴∠EBA+∠EAB=\frac {1}{2} (∠ABO+∠BAO)=\frac {1}{2} (180°-∠AOB)=60°，$

$∠AEB=180°-(∠EBA+∠EAB)=120°.$

$(2)∠CED$的大小不变.如答图，延长$AD，$$BC$交于点$F.$

∵直线$MN$与直线$PQ$相交于点$O，$$∠AOB=60°，$

$∴∠OAB+∠OBA=120°，$

$∴∠PAB+∠MBA=240°.$

$∵AD，$$BC$分别是$∠BAP $和$∠ABM$的平分线，

$∴∠BAD=\frac {1}{2}∠BAP，$$∠ABC=\frac {1}{2}∠ABM，$

$∴∠BAD+∠ABC=\frac {1}{2}(∠PAB+∠ABM)=120°，$

$∴∠F=60°，$

$∴∠FDC+∠FCD=120°，$

$∴∠CDA+∠DCB=240°.$

$∵DE，$$CE$分别是$∠ADC$和$∠BCD$的平分线，

$∴∠CDE+∠DCE=120°，$

∴在$△CDE$中，$∠CED= 180°-(∠CDE+∠DCE)=180°-120°=60°.$

$(3)∠DCE$的度数为$40°$或$80°.$