解：$(1)$设第$1$次购进$A$商品$x$件，$B$商品$y$件.由题意得：
$\{\begin{matrix}1200x+1000y=390000\\(1350-1200)x+(1200-1000)y=60000\end{matrix}.，$
整理得出：$\{\begin{matrix}12x+10y=3900\\15x+20y=6000\end{matrix}，$
解得：$\{\begin{matrix}x=200\\y=150\end{matrix}.$
答：商场第$1$次购进$A、$$B$两种商品各$200$件、$150$件.
$(2)$设$B$商品打$m$折出售.由题意得：
$400×(1350-1200)+150×(1200×\frac {m}{10}-1000)=72000，$
解得：$m=9. $
答：$B$商品打$9$折销售的.
