解：$(1)$∵$DF$是线段$AC$的垂直平分线，
$EF$是线段$BC$的垂直平分线
∴$AM=MC，$$BN=NC$
∵$C_{△CMN}=CM+MN+CN=20\ \mathrm {cm}$
∴$AB=AM+MN+BN=CM+MN+CN=20\ \mathrm {cm}$
$(2)$∵$∠MFN=70°$
∴$∠FMN+∠FNM=110°$
∵$∠FMN=∠AMD，$$∠END=∠MNF$
∴$∠A+∠B=180°-(∠FMN+∠MNF)=70°$
∴$∠ACB=110°$
∵$∠A=∠ACM，$$∠B=∠BCN$
∴$∠MCN=∠ACB-(∠ACM+∠BCN)=110°-70°=40°$
