解：$(1) $由题意，可知抛物线顶点$D$的坐标为$(12，$$20)，$点$B$的坐标为$(0，$$2)$
∴设抛物线相应的函数表达式为$y=a(x-h)^2+k，$即$y=a(x-12)^2+20$
∵点$B$在抛物线上
∴$2=a(0-12)^2+20，$即$a=- \frac {1}{8}$
∴该抛物线相应的函数表达式为：$y=- \frac {1}{8} x^2+3x+2(0≤x≤12+4 \sqrt{10} ) $
$(2)$过点$C$作$CE⊥x$轴，垂足为$E$
设$CE=b，$$AE=a$
则$ \begin{cases}{tanβ =\dfrac {b}{a}=\dfrac {2}{3}}\\{tanα=\dfrac b{a+2}=\dfrac 35}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{a=18}\\{b=12}\end{cases}$
则点$C$的坐标为$(20，$$12)$
当$x=20$时，函数值$y=- \frac {1}{8} ×20^2+3×20+2=12$
∴能点燃目标$C$
