解：$(1)$∵$cos 36°50'=0.8004，$$cos 37°=0.7986，$$cos A=0.8$
∴$36°50'< ∠A< 37°，$$98°<∠ C< 98°10'$
∴$△ABC$是钝角三角形
$ (2) $如图，$BD$是边$AC$上的高，$BD⊥AC，$$BD=3，$过点$C$作$CE⊥AB，$垂足为$E$
在$Rt △ABD$中，$cos A=\frac {AD}{AB}=\frac {4}{5}$
设$AD=4k，$$AB=5k$
∴$3^2+(4k)^2=(5k)^2，$$k=1$
∴$AB=5，$$AD=4$
在$Rt△ACE$中，$cosA=\frac {AE}{AC}=\frac {4}{5}$
设$AE=4a，$$AC=5a$
∴$CE=\sqrt{(5a)^2-(4a)^2}=3a$
又∵$∠CBE=45°，$$∠BEC=90°$
∴$BE=CE=3a$
∵$BE+AE=AB$
∴$3a+4a=5$
∴$a=\frac {5}{7}$
∴$BE=CE=\frac {15}{7}$
∴$BC=\frac {BE}{cos_{45}°}=\frac {15}{7} × \frac {2}{\sqrt 2}=\frac {15\sqrt{2}}{7}$
