第43页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：$(1)$∵四边形$BFED$是平行四边形

∴$DE//BF$

∴$DE//BC$

∴$\triangle ADE∽\triangle ABC$

∴$\frac {AD}{AB}=\frac {DE}{BC}=\frac {1}{4}$

∵$AB=8$

∴$AD=2$

$(2)$∵$\triangle ADE∽\triangle ABC$

∴$\frac {{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=(\frac {DE}{BC})^2=(\frac {1}{4})^2=\frac {1}{16}$

∵$\triangle ADE$的面积为$1$

∴$\triangle ABC$的面积是$16$

∵$DE//BC$

∴$\frac {AE}{AC}=\frac {AD}{AB}=\frac 14$

∴$\frac {EC}{AC}=\frac {3}{4}$

∵四边形$BFED$是平行四边形

∴$EF//AB$

∴$\triangle EFC∽\triangle ABC$

∴$\frac {{S}_{△EFC}}{{S}_{△ABC}}=(\frac {3}{4})^2=\frac {9}{16}$

∴$\triangle EFC$的面积$=9$

∴平行四边形$BFED$的面积$=16-9-1=6$

$(1)$证明：∵$CD$是$Rt△ABC$斜边$AB$上的中线

∴$DC=DA=DB$

∴$∠DCA=∠A$

在$△ADE$中，$∠DEC=∠A+∠ADE$

又∵$∠ADE=∠B-∠A，$即$∠B=∠A+∠ADE$

∴$∠DEC=∠B$

∴$△CDE∽△ACB $

$(2)$令$EA=k(k> 0)，$$DA=\sqrt{6}\ \mathrm {k}，$$CE=x$

∵$△CDE∽△ACB$

∴$\frac {CE}{CD}= \frac {AB}{AC} ，$即$\frac {x}{\sqrt 6k} =\frac {2\sqrt{6}k}{x+k}$

解得$x=3k，$$x=-4k($不合题意，舍去)

∴$\frac {S_{△CDE}}{S_{△ABC}}=(\frac {CE}{AB})^2=(\frac {3k}{2\sqrt{6}k} )^2= \frac {3}{8}$

解：$(1)EA$与$\odot O$相切，连接$OA$

∵$DA·AC=DC · AB$

∴$\frac {DA}{AB}=\frac {DC}{CA}$

∵$BC$是$⊙O$的直径

∴$∠BAC=90°=∠ADC$

∴$△ABC∽△DAC$

∴$∠ACB=∠ACD$

∵$OA=OC$

∴$∠OAC=∠OCA$

∴$∠OAC=∠ACD$

∴$OA//CD$

∴$∠OAE=∠CDE=90°$

∴$OA⊥DE$

又∵$OA$为$⊙O$的半径

∴$EA$与$⊙O$相切

$(2)$∵$OA//CD$

∴$△AOE∽△DCE$

∴$\frac {AO}{CD}=\frac {OE}{EC}$

设$BO=OC=OA=a，$则$BC=2a$

∵$BC=BE=2a$

∴$S_{△ABE}=S_{△ABC}，$$EO=3a，$$EC=4a$

∴$\frac {a}{CD}=\frac {3a}{4a}$

∴$CD= \frac 43a$

∵$△ABC∽△DAC$

∴$\frac {BC}{AC}= \frac {AC}{CD}$

∴$AC^2=BC·CD =\frac {8}{3}a^2$

∵$△ABC∽△DAC$

∴$\frac {S_{△ACD}}{S_{△ABC}} =(\frac {AC}{BC}) ^2=\frac {2}{3} $

∴$S_{2}=\frac 23\ \mathrm {S}_1$

∴$m= \frac 23$