解:$(1)$顾客首次摸球的所有可能结果为红,黄①,黄②,黄③,
共$4$种等可能的结果,
记“首次摸得红球”为事件$A,$则事件$A$发生的结果只有$1$种,
$∴P(\mathrm {A})=\frac {1}{4},$
∴顾客首次摸球中奖的概率为$ \frac {1}{4}.$
$(2)$他应往袋中加入黄球;理由如下:
记往袋中加入的球为“新”,摸得的两球所有可能的结果列表如下:
共有20种等可能结果,
$(\mathrm {i})$若往袋中加入的是红球,两球颜色相同的结果共有$8$种,
此时该顾客获得精美礼品的概率$ P_1=\frac {8}{20}=\frac {2}{5};$
$(\mathrm {ii})$若往袋中加入的是黄球,两球颜色相同的结果共有$12$种,
此时该顾客获得精美礼品的概率$ P_2=\frac {12}{20}=\frac {3}{5};$
$∵\frac {2}{5}<\frac {3}{5},$
$∴P_1<P_2,$
∴他应往袋中加入黄球.