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$解：延长CA， DB交于点E ，如图所示$

$由题意得，∠BAE= 180°-(45°+ 75°)=60°，$

$∠ABE=45°-15°=30°，AB=20海里，AC= 20海里$

$所以∠E=90°$

$在Rt△ABE中，因为∠ABE=30°， AB= 20海里$

$所以AE=10海里， BE=10\sqrt{3}海里$

$设辑私船花t_{小}时能最快追上走私船，$

$则CD=10\sqrt{3}t海里， BD=10t海里。$

$在Rt△CDE中，$

$因为CD²=DE²+CE²$

$又因为CD=10\sqrt{3}t ， DE=BD+BE=(10t+10\sqrt{3})海里，$

$CE=AC+AE=30海里$

$(10\sqrt{3}t)²=(10t+10\sqrt{3})²+ 30²$

$解得， t_{1}=2\sqrt{3}， t_{2}=-\sqrt{3}(不合题意，舍去)$

$所以CD= 60海里， CE=\frac {1}{2}CD$

$所以∠D=30°，∠DCE=60° ，辑私船的方向为北偏东45°$

$答：辑私船沿北偏东45°方向能最快追上走私船，最少要花2\sqrt{3}小时。$

解：$(1)$如答图$1，$过点$C$作$OB$的垂线,

分别交仰角、俯角线于点$E，$$D，$交水平线于点$F.$

在$Rt△AEF $中，$tan∠EAF=\frac {EF}{AF}$

所以$EF=AF×tan 15°≈130×0.27= 35.1(\ \mathrm {cm}). $

因为$AF=AF，$$∠EAF=∠DAF，$$∠AFE=∠AFD= 90°，$

所以$△ADF≌△AEF(\mathrm {ASA})，$

所以$EF= DF=35.1\ \mathrm {cm}，$

所以$CE=160+35.1=195.1(\ \mathrm {cm})，$

$ED=35.1×2=70.2(\ \mathrm {cm})> 26\ \mathrm {cm}，$

所以小杜下蹲的最小距离为$208-195. 1=12. 9(\ \mathrm {cm}).$

$(2)$如答图$2，$过点$B$作$OB$的垂线分别交仰角、俯角线于点$M，$$N.$

交水平线于点$P.$

在$Rt△APM$中，$tan∠MAP =\frac {MP}{AP}$

所以$MP=AP×tan 20°≈150×0.36= 54. 0(\ \mathrm {cm}).$

因为$AP= AP，$$∠MAP=∠NAP，$$∠APM=∠APN=90°，$

所以$△AMP≌△ANP(\mathrm {ASA})，$

所以$PN= MP= 54.0\ \mathrm {cm}，$

所以$BN= 160- 54.0= 106.0(\ \mathrm {cm}).$

小若垫起脚尖后头顶的高度为$120+3= 123(\ \mathrm {cm})，$

所以小若头顶超出点$N$的高度$= 123- 106. 0= 17.0(\ \mathrm {cm})>15(\ \mathrm {cm})，$

所以小若垫起脚尖后能被识别.