解：$(1)$由题意可得：$\begin{cases}{a-3b=0 } \\{a+b-4=0} \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=3\\b=1\end{cases}$
$(2)$设灯$A$转动$t s，$灯$A$的光束、灯$B$的光束分别与$PQ、$$MN$交于点$C、$$D$
当灯$B$的光束到达$BQ$时，$(t＋20) · 1=180$
解得$t=160$
∵灯$B$的光束未到达$BQ$
∴$∠PBD=(t＋20)°，$$0﹤t﹤160$
∴ 灯$A$的光束转动了$3t°，$且$0°﹤3t°﹤480°$
∵$480°÷180°=2······120°$
∴灯$A$的光束会有两次转向$AN$的过程
∴分三种情况：
①在灯$A$的光束第一次转向$AN$的过程中，即$0﹤t≤60，$如图①
此时$∠MAC=3t$
∵$PQ//MN$
∴$∠MAC=∠PCA$
∵两灯的光束互相平行，即$AC//BD$
∴$∠PBD=∠PCA$
∴$∠MAC=∠PBD$
∴$3t=t＋20$
解得$t=10，$符合题意
②在灯$A$的光束第一次到达$AN$后，返回$AM$的过程中，即$ 60﹤t﹤120，$如图②
此时$∠NAC=(3t-180)°$
∵$PQ//MN$
∴$∠NAC＋∠PCA=180°$
∵两灯的光束互相平行，即$AC//BD$
∴$ ∠PCA = ∠PBD$
∴$∠NAC ＋ ∠PBD = 180°$
∴$3t-180+t＋20=180$
解得$t=85，$符合题意
③在灯$A$的光束回到$AM$后又继续向$AN$转动，且灯$B$的光束到达$BQ$之前的过程中，
即$120﹤t﹤160，$如图③
此时$∠MAC=(3t-360)°$
∵$PQ//MN$
∴$∠MAC=∠PCA$
∵两灯的光束互相平行，即$AC//BD$
∴$∠PBD=∠PCA$
∴$ ∠MAC=∠PBD$
∴$3t-360=t＋20$
解得$t=190，$$190﹥ 160，$不合题意，舍去
综上所述，当灯$A$转动$10s$或$85s$时，两灯的光束互相平行
$(3)$在转动过程中，$\angle BAC$与$\angle BCD$的数量关系不发生变化，
设灯$A$射线转动时间为$t$秒
∵$\angle CAN={(180-3t)}°$
∴$\angle BAC={45}°-{(180-3t)}°={(3t-135)}°$
又∵$PQ//MN$
∴$\angle ABQ=\angle BAN={45}°$
∵$\angle CBP={t}°，$$\angle ABQ+\angle ABC+\angle CBP=\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB={180}°$
∴$\angle ABQ+\angle CBP=\angle BAC+\angle ACB$
∴$\angle ACB=\angle ABQ+\angle CBP-\angle BAC$
$={45}°+{t}°-{(3t-135)}°$
$={(180-2t)}°$
而$\angle ACD={90}°，$
∴$\angle BCD={90}°-\angle ACB={90}°-{(180-2t)}°={(2t-90)}°$
∴$\angle BAC：$$\angle BCD=3：$$2，$
即$2\angle BAC=3\angle BCD.$
